Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 0}^{5} 5^{i}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{5^{i + 1}}{5^{i}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $5^{i + 1}$ и $5^{i}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $5^{i}$ из $5^{i + 1}$ .

$r = \frac{5^{i} \cdot 5}{5^{i}}$

Этап 2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{5^{i} \cdot 5}{5^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{5^{i} \cdot 5}{5^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{5}{1}$

Этап 2.2.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$r = 5$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ вместо $i$ в $5^{i}$ .

$a = 5^{0}$

Этап 3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 1$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$1 \frac{1 - 5^{6}}{1 - 1 \cdot 5}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1 - 5^{6}}{1 - 1 \cdot 5}$ на $1$ .

$\frac{1 - 5^{6}}{1 - 1 \cdot 5}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $5$ в степень $6$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 15625}{1 - 1 \cdot 5}$

Этап 5.2.2

Умножим $- 1$ на $15625$ .

$\frac{1 - 15625}{1 - 1 \cdot 5}$

Этап 5.2.3

Вычтем $15625$ из $1$ .

$\frac{- 15624}{1 - 1 \cdot 5}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{- 15624}{1 - 5}$

Этап 5.3.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$\frac{- 15624}{- 4}$

Этап 5.4

Разделим $- 15624$ на $- 4$ .

$3906$