Математический анализ Примеры

$x \sin (y) + y \sin (x) = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x \sin (y) + y \sin (x)) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x \sin (y) + y \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Этап 2.2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Этап 2.2.5

Умножим $\sin (y)$ на $1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y) = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$ .

$x y' \cos (y) + y \cos (x) + y' \sin (x) + \sin (y) = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $y \cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) + \sin (y) = - y \cos (x)$

Этап 5.2.2

Вычтем $\sin (y)$ из обеих частей уравнения.

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $x y' \cos (y) + y' \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y' \cos (y)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' \sin (x)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x))$ .

$y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ на $x \cos (y) + \sin (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ на $x \cos (y) + \sin (x)$ .

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x \cos (y) + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Этап 5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Этап 5.4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y \cos (x) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Этап 5.4.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y \cos (x)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Этап 5.4.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (y)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - (\sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Этап 5.4.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y \cos (x)) - (\sin (y))$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Этап 5.4.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.5.1

Перепишем $- (y \cos (x) + \sin (y))$ в виде $- 1 (y \cos (x) + \sin (y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Этап 5.4.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$