Математический анализ Примеры

$x + 2 y = \sqrt{y}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 2 y = y^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x + 2 y) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x + 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 + 2 y'$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$2 y' + 1$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.8

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.9

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Этап 4.10

Объединим $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ и $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y' + 1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части на $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим $(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' (2 y^{\frac{1}{2}}) + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.2.2

Умножим $2 y^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.2.1.3

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = y'$

Этап 6.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $2 y^{\frac{1}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $4 y' y^{\frac{1}{2}} - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $4 y' y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.3

Разделим каждый член $y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ на $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим каждый член $y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ на $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Этап 6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Этап 6.3.3.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Этап 6.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$