Математический анализ Примеры

$\ln (x y) = e^{x + y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2.2

Объединим $\frac{x}{x y}$ и $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2.4

Объединим $\frac{1}{x y}$ и $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Этап 2.6.2.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Этап 2.6.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{x + y} (1 + y')$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $e^{x + y} (1 + y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x + y} (1 + y')$

Этап 5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y'$

Этап 5.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $e^{x + y}$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + e^{x + y} y'$

Этап 5.1.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x + y} + e^{x + y} y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + y' e^{x + y}$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $y'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $y' e^{x + y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' e^{x + y} = e^{x + y}$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $- y' e^{x + y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} - y' e^{x + y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Этап 5.2.3

Объединим $- y' e^{x + y}$ и $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{- y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y' - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' - y' e^{x + y} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$\frac{{y'}^{1} - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Этап 5.2.5.2

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$\frac{y' \cdot 1 - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Этап 5.2.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y' e^{x + y} y$ .

$\frac{y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Этап 5.2.5.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Этап 5.2.6

Чтобы записать $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Этап 5.2.7

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

Этап 5.2.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Умножим $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

Этап 5.2.8.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

Этап 5.2.8.3

Изменим порядок множителей в $y x$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

Этап 5.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Этап 5.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Этап 5.2.10.2

Умножим $y'$ на $1$ .

$\frac{(y' + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Этап 5.2.10.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(y' - y' e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Этап 5.2.10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y} = e^{x + y}$

Этап 5.2.11

Изменим порядок множителей в $\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y}$ .

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} = e^{x + y}$

Этап 5.3

Умножим обе части на $x y$ .

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Упростим $\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Сократим общий множитель $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

Этап 5.4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' x - y' y x e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

Этап 5.4.1.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.2.1

Перенесем $y$ .

$y' x - y' x y e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

Этап 5.4.1.1.2.2

Перенесем $- y' x y e^{x + y}$ .

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = e^{x + y} (x y)$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{x + y} (x y)$ .

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y}$

Этап 5.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y' x - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x - y' x y e^{x + y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x$ .

$y' x \cdot 1 - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

Этап 5.5.2.2

Вынесем множитель $y' x$ из $- y' x y e^{x + y}$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Этап 5.5.2.3

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y})$ .

$y' x (1 - 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Этап 5.5.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Этап 5.5.4

Разделим каждый член $y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ на $x (1 - y e^{x + y})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Разделим каждый член $y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ на $x (1 - y e^{x + y})$ .

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Этап 5.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Этап 5.5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Этап 5.5.4.2.2

Сократим общий множитель $1 - y e^{x + y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Этап 5.5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Этап 5.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{x y e^{x + y} - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Этап 5.5.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $x y e^{x + y} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y e^{x + y}$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Этап 5.5.4.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1}{x (1 - y e^{x + y})}$

Этап 5.5.4.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$