Математический анализ Примеры

$y = (x) \tan (y)$

Этап 1

Умножим $x$ на $\tan (y)$ .

$y = x \tan (y)$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \tan (y))$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \tan (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (y)] + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x (\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y) \cdot 1$

Этап 4.5

Умножим $\tan (y)$ на $1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Изменим порядок множителей в $x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$ .

$y' = x y' \sec^{2} (y) + \tan (y)$

Этап 6.2

Вычтем $x y' \sec^{2} (y)$ из обеих частей уравнения.

$y' - x y' \sec^{2} (y) = \tan (y)$

Этап 6.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' - x y' \sec^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \sec^{2} (y) = \tan (y)$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x y' \sec^{2} (y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot 1 + y' (- x \sec^{2} (y))$ .

$y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$

Этап 6.4

Разделим каждый член $y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$ на $1 - x \sec^{2} (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Разделим каждый член $y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$ на $1 - x \sec^{2} (y)$ .

$\frac{y' (1 - x \sec^{2} (y))}{1 - x \sec^{2} (y)} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $1 - x \sec^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - x \sec^{2} (y))}{1 - x \sec^{2} (y)} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Этап 6.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$