Математический анализ Примеры

$y^{2} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 1}{x + 1})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.5

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим противоположные члены в $x + 1 - x - - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5

Разделим каждый член $2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ на $2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ на $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Этап 5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Этап 5.3.2

Объединим.

$y' = \frac{2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2} (y)}$

Этап 5.3.4

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{{(x + 1)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{1}{y {(x + 1)}^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y {(x + 1)}^{2}}$