Математический анализ Примеры

$y^{2} = (x - y) (x^{2} + y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} ((x - y) (x^{2} + y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - y$ и $g (x) = x^{2} + y$ .

$(x - y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y] + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$(x - y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x - y) (2 x + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.7

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - y')$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - y) (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Этап 3.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) - y (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Этап 3.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Этап 3.8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

Этап 3.8.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

Этап 3.8.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Этап 3.8.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.7.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Этап 3.8.7.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Этап 3.8.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{1 + 1} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Этап 3.8.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{2} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Этап 3.8.7.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Этап 3.8.7.6

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Этап 3.8.7.7

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

Этап 3.8.7.8

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

Этап 3.8.7.9

Добавим $- y y'$ и $y (- y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.7.9.1

Изменим порядок $y$ и $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' - 1 \cdot y y' + y + x^{2} (- y')$

Этап 3.8.7.9.2

Вычтем $y y'$ из $- y y'$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - 2 y y' + y + x^{2} (- y')$

Этап 3.8.8

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' = 3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $y'$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y = 2 y y'$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $y'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2 y y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y - 2 y y' = 0$

Этап 5.2.2

Вычтем $2 y y'$ из $- 2 y y'$ .

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = 0$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.2

Добавим $2 x y$ к обеим частям уравнения.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2} + 2 x y$

Этап 5.3.3

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $x y' - 4 y y' - x^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' x - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 4 y y'$ .

$y' (x) + y' (- 4 y) - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $- x^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (- 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x) + y' (- 4 y)$ .

$y' (x - 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x - 4 y) + y' (- x^{2})$ .

$y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ на $x - 4 y - x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ на $x - 4 y - x^{2}$ .

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $x - 4 y - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Этап 5.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

Этап 5.5.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

Этап 5.5.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Этап 5.5.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Этап 5.5.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Этап 5.5.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 2 x y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Этап 5.5.3.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Этап 5.5.3.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Этап 5.5.3.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.8.1

Перепишем $- (3 x^{2} - 2 x y + y)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Этап 5.5.3.2.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$