Математический анализ Примеры

$y^{2} + 2 y = 2 x + 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y^{2} + 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' + 2 y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' + 2 y' = 2$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y' + 2 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y'$ .

$2 y' y + 2 y' = 2$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot 1 = 2$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' y + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (y + 1) = 2$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 y' (y + 1) = 2$ на $2 (y + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 y' (y + 1) = 2$ на $2 (y + 1)$ .

$\frac{2 y' (y + 1)}{2 (y + 1)} = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (y + 1)}{2 (y + 1)} = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{y + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1}$