Математический анализ Примеры

$x^{3} + y^{3} = x^{3} y^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{3} y^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y^{3}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{3} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3

Перенесем $3$ влево от $x^{3}$ .

$3 \cdot x^{3} y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} (3 x^{2})$

Этап 3.6

Перенесем $3$ влево от $y^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $3 x^{3} y^{2} y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2}$

Этап 5.2

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $3 y^{2} y'$ из $3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $3 y^{2} y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 y^{2} y' \cdot 1 - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $3 y^{2} y'$ из $- 3 x^{3} y^{2} y'$ .

$3 y^{2} y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' (- x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $3 y^{2} y'$ из $3 y^{2} y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' (- x^{3})$ .

$3 y^{2} y' (1 - x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Этап 5.4

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$3 y^{2} y' (1^{3} - x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Этап 5.5

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Этап 5.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Этап 5.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Этап 5.7

Разделим каждый член $3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$ на $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Разделим каждый член $3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$ на $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.2.3

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (1 + x + x^{2})}{1 + x + x^{2}} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.2.4

Сократим общий множитель $1 + x + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 + x + x^{2})}{1 + x + x^{2}} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.2.4.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y^{3} x^{2}}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.3.1.2

Сократим общий множитель $y^{3}$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})$ .

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{y^{2} ((1 - x) (1 + x + x^{2}))} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{y^{2} ((1 - x) (1 + x + x^{2}))} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.3.1.3

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 ((y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2}))}$

Этап 5.7.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 ((y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2}))}$

Этап 5.7.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- x^{2}}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})}$

Этап 5.7.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$