Математический анализ Примеры

$x^{7} y + y^{7} x = 4$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{7} y + y^{7} x) = \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{7} y + y^{7} x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{7} y] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7} y] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{7} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = y$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{7} y' + y \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$x^{7} y' + y (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Этап 2.2.4

Перенесем $7$ влево от $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{7} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{7}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{7}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 y^{6} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 y^{6} y')$

Этап 2.3.5

Умножим $y^{7}$ на $1$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} + x (7 y^{6} y')$

Этап 2.3.6

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} + 7 x y^{6} y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$y^{7} + x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y'$

Этап 3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y^{7} + x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $y^{7}$ из обеих частей уравнения.

$x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y' = - y^{7}$

Этап 5.1.2

Вычтем $7 x^{6} y$ из обеих частей уравнения.

$x^{7} y' + 7 y^{6} x y' = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x y'$ из $x^{7} y' + 7 y^{6} x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x y'$ из $x^{7} y'$ .

$x y' x^{6} + 7 y^{6} x y' = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x y'$ из $7 y^{6} x y'$ .

$x y' x^{6} + x y' (7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x y'$ из $x y' x^{6} + x y' (7 y^{6})$ .

$x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$ на $x (x^{6} + 7 y^{6})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$ на $x (x^{6} + 7 y^{6})$ .

$\frac{x y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x^{6} + 7 y^{6}} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x^{6} + 7 y^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x^{6} + 7 y^{6}} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{6}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 7 x^{6} y$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{x (- 7 x^{5} y)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{x (- 7 x^{5} y)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$

Этап 5.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (x^{6} + 7 y^{6})$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $\frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y x}{(x^{6} + 7 y^{6}) x}$

Этап 5.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(x^{6} + 7 y^{6}) x$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y^{7} - 7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{7} - 7 x^{5} y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{7}$ .

$y' = \frac{y (- y^{6}) - 7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.5.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- 7 x^{5} y x$ .

$y' = \frac{y (- y^{6}) + y (- 7 x^{5} x)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.5.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- y^{6}) + y (- 7 x^{5} x)$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{5} x)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.5.2

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.2.1

Перенесем $x$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 (x \cdot x^{5}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.5.2.2

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 (x^{1} x^{5}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{1 + 5})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.5.2.3

Добавим $1$ и $5$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{6}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6}) - 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 x^{6}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6}) - (7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{6}) - (7 x^{6})$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6} + 7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.4.1

Перепишем $- (y^{6} + 7 x^{6})$ в виде $- 1 (y^{6} + 7 x^{6})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y^{6} + 7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 5.3.3.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y (y^{6} + 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{6} + 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$