Математический анализ Примеры

${(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3} = 79$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (79)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная ${(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 4 x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x - y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x - y$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $4 x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 - \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.2.6

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 - y') + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.2.7

Умножим $4$ на $1$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 y^{2} y')$

Этап 2.3.4

Умножим $3$ на $2$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 6 y^{2} y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 {(4 x - y)}^{3} \cdot 4 + 4 {(4 x - y)}^{3} (- y') + 6 y^{2} y'$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $4$ на $4$ .

$16 {(4 x - y)}^{3} + 4 {(4 x - y)}^{3} (- y') + 6 y^{2} y'$

Этап 2.4.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y'$

Этап 3

Поскольку $79$ является константой относительно $x$ , производная $79$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y'$ .

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y' = 0$

Этап 5.2

Вычтем $16 {(4 x - y)}^{3}$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y' = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 4 y' {(4 x - y)}^{3}$ .

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 6 y^{2} y' = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $6 y^{2} y'$ .

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 2 y' (3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 2 y' (3 y^{2})$ .

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.4

Воспользуемся бином Ньютона.

$2 y' (- 2 ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Применим правило умножения к $4 x$ .

$2 y' (- 2 (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.5.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.5.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} + 3 \cdot (- 1 {(4 x)}^{2} y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.5.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.5.5

Применим правило умножения к $4 x$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 (4^{2} x^{2}) y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.5.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 (16 x^{2}) y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.5.7

Умножим $16$ на $- 3$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.5.8

Умножим $4$ на $3$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.5.9

Применим правило умножения к $- y$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x ({(- 1)}^{2} y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.5.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 \cdot ({(- 1)}^{2} x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.5.11

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 \cdot (1 x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.5.12

Умножим $12$ на $1$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.5.13

Применим правило умножения к $- y$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + {(- 1)}^{3} y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.5.14

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} - y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' (- 2 (64 x^{3}) - 2 (- 48 x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Умножим $64$ на $- 2$ .

$2 y' (- 128 x^{3} - 2 (- 48 x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.7.2

Умножим $- 48$ на $- 2$ .

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.7.3

Умножим $12$ на $- 2$ .

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 24 (x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.7.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 24 (x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Избавимся от скобок.

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 (x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.8.2

Избавимся от скобок.

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Этап 5.9

Разделим каждый член $2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$ на $2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Разделим каждый член $2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$ на $2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})$ .

$\frac{2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})} = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

Этап 5.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.9.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}} = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

Этап 5.9.2.2

Сократим общий множитель $- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.9.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

Этап 5.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1

Сократим общий множитель $- 16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 16 {(4 x - y)}^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- 8 {(4 x - y)}^{3})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

Этап 5.9.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- 8 {(4 x - y)}^{3})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

Этап 5.9.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 8 {(4 x - y)}^{3}}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

Этап 5.9.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

Этап 5.9.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 128 x^{3}$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3}) + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

Этап 5.9.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $96 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3}) - (- 96 x^{2} y) - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

Этап 5.9.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (128 x^{3}) - (- 96 x^{2} y)$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

Этап 5.9.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 24 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - (24 x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

Этап 5.9.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - (24 x y^{2})$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

Этап 5.9.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $2 y^{3}$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) - (- 2 y^{3}) + 3 y^{2}}$

Этап 5.9.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) - (- 2 y^{3})$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) + 3 y^{2}}$

Этап 5.9.3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $3 y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) - (- 3 y^{2})}$

Этап 5.9.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) - (- 3 y^{2})$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})}$

Этап 5.9.3.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.12.1

Перепишем $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})$ в виде $- 1 (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- 1 (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})}$

Этап 5.9.3.12.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

Этап 5.9.3.12.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' = 1 \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

Этап 5.9.3.12.4

Умножим $\frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$ на $1$ .

$y' = \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$