Математический анализ Примеры

$\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 2 x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{3}{x} - \frac{3}{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Этап 2.2.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{y}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = y$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Этап 2.3.5

Умножим $y$ на $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Этап 2.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Этап 2.3.7

Вычтем $y'$ из $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

Этап 2.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 3 x^{- 2} - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Этап 2.3.9

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- 3 x^{- 2} + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

Этап 2.3.10

Объединим $3$ и $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Этап 2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}} = 2$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $\frac{3}{x^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{3 y'}{y^{2}} = 2 + \frac{3}{x^{2}}$

Этап 5.2

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 y' = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $(2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3}{x^{2}} y^{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Объединим $\frac{3}{x^{2}}$ и $y^{2}$ .

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ на $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.4.3.1.2

Объединим.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

Этап 5.4.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

Этап 5.4.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 5.4.3.1.4

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$