Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{1}{16}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{16}$ по $x$ равна $\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Этап 2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{16}$ .

$\frac{2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Этап 2.2.4

Объединим $\frac{2}{16}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Этап 2.2.5

Сократим общий множитель $2$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Этап 2.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Этап 2.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Этап 2.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{y^{2}}{9}$ по $x$ равна $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{9} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{9} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{9} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{9} (2 y y')$

Этап 2.3.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2}{9} (y y')$

Этап 2.3.5

Объединим $y$ и $\frac{2}{9}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2}{9} y'$

Этап 2.3.6

Объединим $\frac{y \cdot 2}{9}$ и $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2 y'}{9}$

Этап 2.3.7

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 y y'}{9}$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{x}{8} + \frac{2 y y'}{9} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $\frac{x}{8}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2 y y'}{9} = - \frac{x}{8}$

Этап 5.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y y'}{9} = \frac{9}{2} (- \frac{x}{8})$

Этап 5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим $\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y y'}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y y'}{9} = \frac{9}{2} (- \frac{x}{8})$

Этап 5.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 y y') = \frac{9}{2} (- \frac{x}{8})$

Этап 5.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y y'$ .

$\frac{1}{2} (2 (y y')) = \frac{9}{2} (- \frac{x}{8})$

Этап 5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 (y y')) = \frac{9}{2} (- \frac{x}{8})$

Этап 5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y y' = \frac{9}{2} (- \frac{x}{8})$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{9}{2} (- \frac{x}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{x}{8}$ .

$y y' = - \frac{9 x}{2 \cdot 8}$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $2$ на $8$ .

$y y' = - \frac{9 x}{16}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y y' = - \frac{9 x}{16}$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y y' = - \frac{9 x}{16}$ на $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{9 x}{16}}{y}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{9 x}{16}}{y}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- \frac{9 x}{16}}{y}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = - \frac{9 x}{16} \cdot \frac{1}{y}$

Этап 5.4.3.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{9 x}{16}$ .

$y' = - \frac{9 x}{y \cdot 16}$

Этап 5.4.3.3

Перенесем $16$ влево от $y$ .

$y' = - \frac{9 x}{16 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x}{16 y}$