Математический анализ Примеры

$e^{x^{2} + y} = 5 x + 4 y + 2$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (e^{x^{2} + y}) = \frac{d}{d x} (5 x + 4 y + 2)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + y$ .

$e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $5 x + 4 y + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5 + 4 y' + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 + 4 y' + 0$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $5 + 4 y'$ и $0$ .

$5 + 4 y'$

Этап 3.5.2

Изменим порядок членов.

$4 y' + 5$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $e^{x^{2} + y} (2 x + y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Этап 5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x^{2} + y} (2 x) + e^{x^{2} + y} y' = 4 y' + 5$

Этап 5.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y' = 4 y' + 5$

Этап 5.1.4.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$ .

$2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y} = 4 y' + 5$

Этап 5.2

Вычтем $4 y'$ из обеих частей уравнения.

$2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y} - 4 y' = 5$

Этап 5.3

Вычтем $2 x e^{x^{2} + y}$ из обеих частей уравнения.

$y' e^{x^{2} + y} - 4 y' = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' e^{x^{2} + y} - 4 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' e^{x^{2} + y}$ .

$y' (e^{x^{2} + y}) - 4 y' = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 4 y'$ .

$y' (e^{x^{2} + y}) + y' \cdot - 4 = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (e^{x^{2} + y}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$ на $e^{x^{2} + y} - 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$ на $e^{x^{2} + y} - 4$ .

$\frac{y' (e^{x^{2} + y} - 4)}{e^{x^{2} + y} - 4} = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $e^{x^{2} + y} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (e^{x^{2} + y} - 4)}{e^{x^{2} + y} - 4} = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{5 - 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 - 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$