Математический анализ Примеры

$x^{2} + 3 x y + y^{3} = 10$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (10)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 x y + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 x + 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 y^{2} y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 3 (x y') + 3 y + 3 y^{2} y'$

Этап 2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x + 3 x y' + 3 y + 3 y^{2} y'$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 2 x + 3 y$

Этап 3

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 2 x + 3 y = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 3 y = - 2 x$

Этап 5.1.2

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$3 x y' + 3 y^{2} y' = - 2 x - 3 y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 x y' + 3 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 x y'$ .

$3 y' x + 3 y^{2} y' = - 2 x - 3 y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x + 3 y' y^{2} = - 2 x - 3 y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y' x + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$ на $3 (x + y^{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$ на $3 (x + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (x + y^{2})}{3 (x + y^{2})} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y' (x + y^{2})}{3 (x + y^{2})} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x + y^{2})}{x + y^{2}} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + y^{2})}{x + y^{2}} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 y$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{3 (- y)}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{3 (- y)}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- y}{x + y^{2}}$

Этап 5.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y}{x + y^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{y}{x + y^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y}{x + y^{2}} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 (x + y^{2})$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $\frac{y}{x + y^{2}}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y \cdot 3}{(x + y^{2}) \cdot 3}$

Этап 5.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(x + y^{2}) \cdot 3$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y \cdot 3}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 3}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - (3 y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.9.1

Перепишем $- (2 x + 3 y)$ в виде $- 1 (2 x + 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x + 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 3 y}{3 (x + y^{2})}$