Математический анализ Примеры

$e^{x} y = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (e^{x} y) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = y$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} y' + y e^{x}$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$e^{x} y' + y e^{x} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $e^{x} y' + y e^{x}$ .

$y' e^{x} + y e^{x} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $y e^{x}$ из обеих частей уравнения.

$y' e^{x} = - y e^{x}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' e^{x} = - y e^{x}$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' e^{x} = - y e^{x}$ на $e^{x}$ .

$\frac{y' e^{x}}{e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' e^{x}}{e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Этап 5.3.3.1.2

Разделим $- y$ на $1$ .

$y' = - y$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y$