Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4} > 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} + 8 x = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + 8 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $8 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 8 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 8$ .

$x (x + 8) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 8) = 0$ верно.

$x = 0, - 8$

Этап 7

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0, - 8$

$x = 4$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 0, - 8, 4$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 4 = 0$

Этап 10.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 10)}^{2} + 8 (- 10)}{(- 10) - 4} > 0$

Этап 12.1.3

Левая часть $- 1.\overline{428571}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 8 (- 4)}{(- 4) - 4} > 0$

Этап 12.2.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(2)}^{2} + 8 (2)}{(2) - 4} > 0$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 10$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(6)}^{2} + 8 (6)}{(6) - 4} > 0$

Этап 12.4.3

Левая часть $42$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < 0$ Истина

$0 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < 0$ Истина

$0 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 8 < x < 0$ или $x > 4$

Этап 14

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 8, 0) \cup (4, \infty)$

Этап 15