Математический анализ Примеры

$\cos^{3} (x) \sin^{3} (x)$

Этап 1

Вынесем $\cos^{2} (x)$ за скобки.

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

Этап 2

Используя формулы Пифагора, запишем $\cos^{2} (x)$ в виде $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

Этап 3

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (1 - u^{2}) u^{3} d u$

Этап 4

Развернем $(1 - u^{2}) u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

Этап 4.2

Умножим $u^{3}$ на $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

Этап 4.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int u^{3} - (u^{2} u^{3}) d u$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{3} - u^{2 + 3} d u$

Этап 4.5

Добавим $2$ и $3$ .

$\int u^{3} - u^{5} d u$

Этап 4.6

Изменим порядок $u^{3}$ и $- u^{5}$ .

$\int - u^{5} + u^{3} d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{5}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $u^{6}$ .

$- (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Этап 9.2

Упростим.

$- \frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{6} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$