Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (x^{4})$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} \cdot \tan (x^{4})$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (x^{4})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (x^{4})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (x^{4}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\sec^{2} (x^{4})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (x^{4})}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{\sec^{2} (x^{4})}{2} (4 x^{3})$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $4$ и $\frac{\sec^{2} (x^{4})}{2}$ .

$\frac{4 \sec^{2} (x^{4})}{2} x^{3}$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{4 \sec^{2} (x^{4})}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 \sec^{2} (x^{4}) x^{3}}{2}$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \sec^{2} (x^{4}) x^{3}$ .

$\frac{2 (2 \sec^{2} (x^{4}) x^{3})}{2}$

Этап 3.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 \sec^{2} (x^{4}) x^{3})}{2 (1)}$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 \sec^{2} (x^{4}) x^{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sec^{2} (x^{4}) x^{3}}{1}$

Этап 3.3.3.2.4

Разделим $2 \sec^{2} (x^{4}) x^{3}$ на $1$ .

$2 \sec^{2} (x^{4}) x^{3}$

Этап 3.3.4

Изменим порядок множителей в $2 \sec^{2} (x^{4}) x^{3}$ .

$2 x^{3} \sec^{2} (x^{4})$