Математический анализ Примеры

$f (t) = e^{4 t \sin (2 t)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = 4 t \sin (2 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 t \sin (2 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 t \sin (2 t)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 t \sin (2 t)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 t \sin (2 t)$ .

$e^{4 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [4 t \sin (2 t)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t \sin (2 t)$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$ .

$e^{4 t \sin (2 t)} (4 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)])$

Этап 2.2

Перенесем $4$ влево от $e^{4 t \sin (2 t)}$ .

$4 \cdot e^{4 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = \sin (2 t)$ .

$4 e^{4 t \sin (2 t)} (t \frac{d}{d t} [\sin (2 t)] + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 t$ .

$4 e^{4 t \sin (2 t)} (t (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$4 e^{4 t \sin (2 t)} (t (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 t$ .

$4 e^{4 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 e^{4 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 e^{4 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \cdot 1)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$4 e^{4 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \cdot 2) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 5.3.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 t)$ .

$4 e^{4 t \sin (2 t)} (t (2 \cdot \cos (2 t)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 e^{4 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t) \cdot 1)$

Этап 5.5

Умножим $\sin (2 t)$ на $1$ .

$4 e^{4 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 e^{4 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t))) + 4 e^{4 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$8 e^{4 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 4 e^{4 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$