Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{1 - 9 x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{1 - 9 y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{1 - 9 y} = x$ .

$\sqrt{1 - 9 y} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 - 9 y}}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - 9 y}$ в виде ${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 - 9 y)}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$1 - 9 y = x^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 9 y = x^{2} - 1$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- 9 y = x^{2} - 1$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- 9 y = x^{2} - 1$ на $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{- 1}{- 9}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$ обратной к $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = - \frac{{(\sqrt{1 - 9 x})}^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(\sqrt{1 - 9 x})}^{2} + 1}{9}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перепишем ${\sqrt{1 - 9 x}}^{2}$ в виде $1 - 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - 9 x}$ в виде ${(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {({(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}{9}$

Этап 5.2.4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{9}$

Этап 5.2.4.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{2}{2}} + 1}{9}$

Этап 5.2.4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{2}{2}} + 1}{9}$

Этап 5.2.4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- (1 - 9 x) + 1}{9}$

Этап 5.2.4.1.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- (1 - 9 x) + 1}{9}$

Этап 5.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 9 x) + 1}{9}$

Этап 5.2.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 - (- 9 x) + 1}{9}$

Этап 5.2.4.4

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 + 9 x + 1}{9}$

Этап 5.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Объединим противоположные члены в $- 1 + 9 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Этап 5.2.5.1.2

Добавим $9 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x}{9}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x}{9}$

Этап 5.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9})}$

Этап 5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 (- \frac{x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{9}$ в числитель.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 \frac{- x^{2}}{9} - 9 (\frac{1}{9})}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 9 (- 1) (\frac{- x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Этап 5.3.4.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 9 \cdot (- 1 \frac{- x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Этап 5.3.4.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 1 (- x^{2}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Этап 5.3.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 1 x^{2} - 9 (\frac{1}{9})}$

Этап 5.3.5.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} - 9 (\frac{1}{9})}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} + 9 (- 1) (\frac{1}{9})}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} + 9 \cdot (- 1 (\frac{1}{9}))}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

Этап 5.3.7

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Этап 5.3.7.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 5.3.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$ — обратная к $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$