Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x}{x - 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y}{y - 1}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $(y - 1) (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y x - x = y$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y x - x - y = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$y x - y = x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - y = x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (x - 1) = x$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (x - 1) = x$ на $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ обратной к $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Этап 5.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Этап 5.2.4.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Этап 5.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Этап 5.2.4.4

Перепишем $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Этап 5.2.4.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Этап 5.2.4.4.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Этап 5.2.4.4.4

Добавим $0$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $1 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Этап 5.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Этап 5.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{x - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Этап 5.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.4

Перепишем $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.4.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Этап 5.3.4.4.4

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $1 (x - 1)$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ — обратная к $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$