Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{1 + \ln (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 + \ln (x)$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Этап 2.2

Умножим $1 + \ln (x)$ на $1$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $1 + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{1}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $x$ .

$\frac{1 + \ln (x) - \frac{x}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + \ln (x) - \frac{x}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + \ln (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + \ln (x) - 1}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + \ln (x)}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Этап 4.3.3

Добавим $0$ и $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$