Математический анализ Примеры

$\int \sin^{3} (x) \cos^{2} (x) d x$

Этап 1

Вынесем $\sin^{2} (x)$ за скобки.

$\int \sin^{2} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Этап 2

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (x)$ в виде $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Этап 3

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Этап 4

Умножим $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $- 1 u^{2}$ в виде $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.2

Умножим $u^{2}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Этап 5.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 10.2

Упростим.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + C$