Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{7 x}{2^{x}}$

Этап 1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{7 x}{2^{x}}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 2^{x}$ .

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{{(2^{x})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(2^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{x \cdot 2}}$

Этап 3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \frac{2^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Этап 3.3

Умножим $2^{x}$ на $1$ .

$7 \frac{2^{x} - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$7 \frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$

Этап 5

Объединим $7$ и $\frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$ .

$\frac{7 (2^{x} - x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 \cdot 2^{x} + 7 (- x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $7 (- x (2^{x} \ln (2)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{7 \cdot 2^{x} - 7 (x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Этап 6.2.1.1.2

Упростим $- 7 \ln (2)$ путем переноса $7$ под логарифм.

$\frac{7 \cdot 2^{x} + x (2^{x} (- \ln (2^{7})))}{2^{2 x}}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{7 \cdot 2^{x} - \ln (2^{7}) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $2$ в степень $7$ .

$\frac{7 \cdot 2^{x} - \ln (128) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Этап 6.2.2

Изменим порядок множителей в $7 \cdot 2^{x} - \ln (128) x \cdot 2^{x}$ .

$\frac{7 \cdot 2^{x} - x \cdot 2^{x} \ln (128)}{2^{2 x}}$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2^{x} x \ln (128) + 7 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Этап 6.4

Вынесем множитель $2^{x}$ из $- 2^{x} x \ln (128) + 7 \cdot 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $2^{x}$ из $- 2^{x} x \ln (128)$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (128)) + 7 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $2^{x}$ из $7 \cdot 2^{x}$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (128)) + 2^{x} \cdot 7}{2^{2 x}}$

Этап 6.4.3

Вынесем множитель $2^{x}$ из $2^{x} (- x \ln (128)) + 2^{x} \cdot 7$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (128) + 7)}{2^{2 x}}$

Этап 6.5

Сократим общий множитель $2^{x}$ и $2^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $2^{2 x}$ из $2^{x} (- x \ln (128) + 7)$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x}}$

Этап 6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Этап 6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2^{- x} (- x \ln (128) + 7)}{1}$

Этап 6.5.2.4

Разделим $2^{- x} (- x \ln (128) + 7)$ на $1$ .

$2^{- x} (- x \ln (128) + 7)$

Этап 6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2^{- x} (- x \ln (128)) + 2^{- x} \cdot 7$

Этап 6.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 2^{- x} \cdot 7$

Этап 6.8

Перенесем $7$ влево от $2^{- x}$ .

$- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 7 \cdot 2^{- x}$

Этап 6.9

Изменим порядок множителей в $- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 7 \cdot 2^{- x}$ .

$- x \cdot 2^{- x} \ln (128) + 7 \cdot 2^{- x}$