Математический анализ Примеры

$f (x) = - 7 {(3 x^{4} + 2)}^{- 4}$

Этап 1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 {(3 x^{4} + 2)}^{- 4}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 2)}^{- 4}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 2)}^{- 4}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 4}$ и $g (x) = 3 x^{4} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{4} + 2$ .

$- 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$- 7 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{4} + 2$ .

$- 7 (- 4 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 4$ на $- 7$ .

$28 ({(3 x^{4} + 2)}^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$28 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$28 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$28 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.5

Умножим $4$ на $3$ .

$28 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$28 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} (12 x^{3} + 0)$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $12 x^{3}$ и $0$ .

$28 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} (12 x^{3})$

Этап 3.7.2

Умножим $12$ на $28$ .

$336 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} x^{3}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$336 \frac{1}{{(3 x^{4} + 2)}^{5}} x^{3}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $336$ и $\frac{1}{{(3 x^{4} + 2)}^{5}}$ .

$\frac{336}{{(3 x^{4} + 2)}^{5}} x^{3}$

Этап 4.2.2

Объединим $\frac{336}{{(3 x^{4} + 2)}^{5}}$ и $x^{3}$ .

$\frac{336 x^{3}}{{(3 x^{4} + 2)}^{5}}$