Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x {(5 x + 3)}^{4}$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x {(5 x + 3)}^{4}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x {(5 x + 3)}^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(5 x + 3)}^{4}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(5 x + 3)}^{4}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{4}] + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 5 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x + 3$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x + 3$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $5 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Умножим $5$ на $1$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 + 0)) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $5$ и $0$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} \cdot 5) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6.2

Умножим $5$ на $4$ .

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4} \cdot 1)$

Этап 4.8

Умножим ${(5 x + 3)}^{4}$ на $1$ .

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3})) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

Этап 5.2

Умножим $20$ на $4$ .

$80 (x ({(5 x + 3)}^{3})) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $4 {(5 x + 3)}^{3}$ из $80 x {(5 x + 3)}^{3} + 4 {(5 x + 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $4 {(5 x + 3)}^{3}$ из $80 x {(5 x + 3)}^{3}$ .

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $4 {(5 x + 3)}^{3}$ из $4 {(5 x + 3)}^{4}$ .

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{3} (5 x + 3)$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $4 {(5 x + 3)}^{3}$ из $4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{3} (5 x + 3)$ .

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x + 5 x + 3)$

Этап 5.4

Добавим $20 x$ и $5 x$ .

$4 {(5 x + 3)}^{3} (25 x + 3)$