Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(x^{3} + 1)}^{7}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{7}] + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = x^{3} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} + 1$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$3 (x^{2} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} + 1$ .

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2})) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4.2

Умножим $3$ на $7$ .

$3 (x^{2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6} x^{2}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x^{2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (x^{2 + 2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} (2 x))$

Этап 7

Перенесем $2$ влево от ${(x^{3} + 1)}^{7}$ .

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + 2 \cdot {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6})) + 3 (2 {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

Этап 8.2

Умножим $21$ на $3$ .

$63 (x^{4} ({(x^{3} + 1)}^{6})) + 3 (2 {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

Этап 8.3

Умножим $2$ на $3$ .

$63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6} + 6 ({(x^{3} + 1)}^{7} x)$

Этап 8.4

Вынесем множитель $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ из $63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6} + 6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ из $63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6}$ .

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$

Этап 8.4.2

Вынесем множитель $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ из $6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$ .

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (2 (x^{3} + 1))$

Этап 8.4.3

Вынесем множитель $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ из $3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (2 (x^{3} + 1))$ .

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3} + 2 (x^{3} + 1))$