Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2
Этап 2.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 2.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 2.1.2
Найдем предел числителя.
Этап 2.1.2.1
Вычислим предел.
Этап 2.1.2.1.1
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 2.1.2.1.2
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.1.2.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 2.1.2.3
Упростим ответ.
Этап 2.1.2.3.1
Умножим на .
Этап 2.1.2.3.2
Точное значение : .
Этап 2.1.3
Найдем предел знаменателя.
Этап 2.1.3.1
Вычислим предел.
Этап 2.1.3.1.1
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 2.1.3.1.2
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 2.1.3.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 2.1.3.3
Упростим ответ.
Этап 2.1.3.3.1
Умножим на .
Этап 2.1.3.3.2
Точное значение : .
Этап 2.1.3.3.3
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 2.1.3.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 2.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 2.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 2.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Этап 2.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 2.3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.3.2.2
Производная по равна .
Этап 2.3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.3.3
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.5
Умножим на .
Этап 2.3.6
Перенесем влево от .
Этап 2.3.7
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3.7.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.3.7.2
Производная по равна .
Этап 2.3.7.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.3.8
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.3.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.10
Умножим на .
Этап 2.3.11
Перенесем влево от .
Этап 3
Этап 3.1
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 3.2
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 3.3
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 3.4
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 3.5
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 3.6
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 4
Этап 4.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 4.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5
Этап 5.1
Сократим общий множитель .
Этап 5.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.2
Упростим числитель.
Этап 5.2.1
Умножим на .
Этап 5.2.2
Точное значение : .
Этап 5.3
Упростим знаменатель.
Этап 5.3.1
Умножим на .
Этап 5.3.2
Точное значение : .
Этап 5.4
Сократим общий множитель .
Этап 5.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.5
Умножим на .