Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} (5 - 3 x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 5 - 3 x^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}] + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 - 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} (- 3 (2 x)) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x^{3} (- 6 x) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$x^{4} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4

Перенесем $- 6$ влево от $x^{4}$ .

$- 6 \cdot x^{4} + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 6 x^{4} + (5 - 3 x^{2}) (3 x^{2})$

Этап 6

Перенесем $3$ влево от $5 - 3 x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 3 \cdot (5 - 3 x^{2}) x^{2}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 x^{4} + (3 \cdot 5 + 3 (- 3 x^{2})) x^{2}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 x^{4} + 3 \cdot 5 x^{2} + 3 (- 3 x^{2}) x^{2}$

Этап 7.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $3$ на $5$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} + 3 (- 3 x^{2}) x^{2}$

Этап 7.3.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{2} x^{2}$

Этап 7.3.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2})$

Этап 7.3.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{2 + 2}$

Этап 7.3.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{4}$

Этап 7.3.4

Вычтем $9 x^{4}$ из $- 6 x^{4}$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2}$