Математический анализ Примеры

$\cot (x) \sin (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cot (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 3

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$\cot (x) \cos (x) + \sin (x) (- \csc^{2} (x))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$\cos (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \sin (x)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

Этап 4.2.2

Умножим $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

Этап 4.2.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

Этап 4.2.2.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

Этап 4.2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

Этап 4.2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

Этап 4.2.3

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x)$

Этап 4.2.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ в числитель.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Этап 4.2.5.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1^{2}}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Этап 4.2.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1^{2}}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Этап 4.2.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1^{2}}{\sin (x)}$

Этап 4.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)}$

Этап 4.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1}{\sin (x)}$

Этап 4.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)}$

Этап 4.4

Изменим порядок $\cos^{2} (x)$ и $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Этап 4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Этап 4.8

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Этап 4.9

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.10

Сократим общий множитель $\sin^{2} (x)$ и $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Этап 4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Этап 4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sin (x)}{1}$

Этап 4.10.2.4

Разделим $- \sin (x)$ на $1$ .

$- \sin (x)$