Математический анализ Примеры

$f (x) = (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 x - 4$ и $g (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 1$ .

$(2 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x^{2} + 1] + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(2 x - 4) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(2 x - 4) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(2 x - 4) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$(2 x - 4) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(2 x - 4) (6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(2 x - 4) (6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(2 x - 4) (6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Этап 2.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 x - 4) (6 x^{2} - 2 x + 0) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Этап 2.9

Добавим $6 x^{2} - 2 x$ и $0$ .

$(2 x - 4) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $2 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(2 x - 4) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 2.11

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x - 4) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(2 x - 4) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 2.13

Умножим $2$ на $1$ .

$(2 x - 4) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 2.14

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 x - 4) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (2 + 0)$

Этап 2.15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Добавим $2$ и $0$ .

$(2 x - 4) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \cdot 2$

Этап 2.15.2

Перенесем $2$ влево от $2 x^{3} - x^{2} + 1$ .

$(2 x - 4) (6 x^{2} - 2 x) + 2 \cdot (2 x^{3} - x^{2} + 1)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 4) (6 x^{2} - 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 4) (6 x^{2}) + (2 x - 4) (- 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (6 x^{2}) - 4 (6 x^{2}) + (2 x - 4) (- 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (6 x^{2}) - 4 (6 x^{2}) + 2 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $6$ на $2$ .

$12 x \cdot x^{2} - 4 (6 x^{2}) + 2 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$12 (x^{2} x) - 4 (6 x^{2}) + 2 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 (x^{2} x^{1}) - 4 (6 x^{2}) + 2 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{2 + 1} - 4 (6 x^{2}) + 2 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$12 x^{3} - 4 (6 x^{2}) + 2 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.3

Умножим $6$ на $- 4$ .

$12 x^{3} - 24 x^{2} + 2 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$12 x^{3} - 24 x^{2} - 4 x \cdot x - 4 (- 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 x^{3} - 24 x^{2} - 4 (x^{1} x) - 4 (- 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 x^{3} - 24 x^{2} - 4 (x^{1} x^{1}) - 4 (- 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{3} - 24 x^{2} - 4 x^{1 + 1} - 4 (- 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.8

Добавим $1$ и $1$ .

$12 x^{3} - 24 x^{2} - 4 x^{2} - 4 (- 2 x) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.9

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$12 x^{3} - 24 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.10

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 24 x^{2}$ .

$12 x^{3} - 28 x^{2} + 8 x + 2 (2 x^{3}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.11

Умножим $2$ на $2$ .

$12 x^{3} - 28 x^{2} + 8 x + 4 x^{3} + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.12

Умножим $- 1$ на $2$ .

$12 x^{3} - 28 x^{2} + 8 x + 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

Этап 3.5.13

Умножим $2$ на $1$ .

$12 x^{3} - 28 x^{2} + 8 x + 4 x^{3} - 2 x^{2} + 2$

Этап 3.5.14

Добавим $12 x^{3}$ и $4 x^{3}$ .

$16 x^{3} - 28 x^{2} + 8 x - 2 x^{2} + 2$

Этап 3.5.15

Вычтем $2 x^{2}$ из $- 28 x^{2}$ .

$16 x^{3} - 30 x^{2} + 8 x + 2$