Математический анализ Примеры

$f (x) = (2 x - 33) (x^{2} + 84)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 x - 33$ и $g (x) = x^{2} + 84$ .

$(2 x - 33) \frac{d}{d x} [x^{2} + 84] + (x^{2} + 84) \frac{d}{d x} [2 x - 33]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 84$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [84]$ .

$(2 x - 33) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [84]) + (x^{2} + 84) \frac{d}{d x} [2 x - 33]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(2 x - 33) (2 x + \frac{d}{d x} [84]) + (x^{2} + 84) \frac{d}{d x} [2 x - 33]$

Этап 2.3

Поскольку $84$ является константой относительно $x$ , производная $84$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 x - 33) (2 x + 0) + (x^{2} + 84) \frac{d}{d x} [2 x - 33]$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(2 x - 33) (2 x) + (x^{2} + 84) \frac{d}{d x} [2 x - 33]$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $2 x - 33$ .

$2 \cdot (2 x - 33) x + (x^{2} + 84) \frac{d}{d x} [2 x - 33]$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $2 x - 33$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 33]$ .

$2 (2 x - 33) x + (x^{2} + 84) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 33])$

Этап 2.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 x - 33) x + (x^{2} + 84) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 33])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (2 x - 33) x + (x^{2} + 84) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 33])$

Этап 2.8

Умножим $2$ на $1$ .

$2 (2 x - 33) x + (x^{2} + 84) (2 + \frac{d}{d x} [- 33])$

Этап 2.9

Поскольку $- 33$ является константой относительно $x$ , производная $- 33$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (2 x - 33) x + (x^{2} + 84) (2 + 0)$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $2$ и $0$ .

$2 (2 x - 33) x + (x^{2} + 84) \cdot 2$

Этап 2.10.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 84$ .

$2 (2 x - 33) x + 2 \cdot (x^{2} + 84)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (2 x) + 2 \cdot - 33) x + 2 (x^{2} + 84)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x) x + 2 \cdot - 33 x + 2 (x^{2} + 84)$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x) x + 2 \cdot - 33 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 84$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x \cdot x + 2 \cdot - 33 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 84$

Этап 3.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 (x^{1} x) + 2 \cdot - 33 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 84$

Этап 3.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 33 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 84$

Этап 3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 33 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 84$

Этап 3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 33 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 84$

Этап 3.4.6

Умножим $2$ на $- 33$ .

$4 x^{2} - 66 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 84$

Этап 3.4.7

Умножим $2$ на $84$ .

$4 x^{2} - 66 x + 2 x^{2} + 168$

Этап 3.4.8

Добавим $4 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 66 x + 168$