Математический анализ Примеры

$arccsc (8 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = arccsc (x)$ и $g (x) = 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.2

Производная $arccsc (u)$ по $u$ равна $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x$ .

$- \frac{1}{8 x \sqrt{{(8 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$- \frac{1}{8 x \sqrt{{(8 (x))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило умножения к $8 (x)$ .

$- \frac{1}{8 x \sqrt{8^{2} x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.2.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{8 x \sqrt{64 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{8 x \sqrt{64 x^{2} - 1}} (8 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 8 \frac{1}{8 x \sqrt{64 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{8 x \sqrt{64 x^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 8}{8 x \sqrt{64 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.3

Сократим общий множитель $- 8$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8 x \sqrt{64 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x \sqrt{64 x^{2} - 1}$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8 (x \sqrt{64 x^{2} - 1})} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 (x \sqrt{64 x^{2} - 1})} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{x \sqrt{64 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x \sqrt{64 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{64 x^{2} - 1}} \cdot 1$

Этап 2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{64 x^{2} - 1}}$