Математический анализ Примеры

$5 x + 4 \ln (2 x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $5 x + 4 \ln (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 \ln (2 x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \ln (2 x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 \ln (2 x)]$

Этап 2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [4 \ln (2 x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \ln (2 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$5 + 4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$5 + 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$5 + 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$5 + 4 (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 + 4 (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 + 4 (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$5 + 4 (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{2 x}$ и $2$ .

$5 + 4 \frac{2}{2 x}$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сократим общий множитель.

$5 + 4 \frac{2}{2 x}$

Этап 3.7.2

Перепишем это выражение.

$5 + 4 \frac{1}{x}$

Этап 3.8

Объединим $4$ и $\frac{1}{x}$ .

$5 + \frac{4}{x}$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{x} + 5$