Математический анализ Примеры

$\ln (\cos (x^{2}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (x^{2})$ .

$\frac{1}{\cos (x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Этап 2

Переведем $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ в $\sec (x^{2})$ .

$\sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$\sec (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (x^{2}) (2 x))$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\sec (x^{2}) (- 2 \sin (x^{2}) x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $\sec (x^{2}) (- 2 \sin (x^{2}) x)$ .

$- 2 x \sec (x^{2}) \sin (x^{2})$

Этап 5.2

Выразим $\sec (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$- 2 x \frac{1}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Этап 5.3

Умножим $- 2 x \frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$x \frac{- 2}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Этап 5.3.2

Объединим $x$ и $\frac{- 2}{\cos (x^{2})}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Этап 5.4

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\frac{- 2 \cdot x}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Этап 5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \cdot x}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Этап 5.6

Объединим $\sin (x^{2})$ и $\frac{2 x}{\cos (x^{2})}$ .

$- \frac{\sin (x^{2}) (2 x)}{\cos (x^{2})}$

Этап 5.7

Перенесем $2$ влево от $\sin (x^{2})$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (x^{2}) x}{\cos (x^{2})}$

Этап 5.8

Разделим дроби.

$- (\frac{2 x}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})$

Этап 5.9

Переведем $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ в $\tan (x^{2})$ .

$- (\frac{2 x}{1} \tan (x^{2}))$

Этап 5.10

Разделим $2 x$ на $1$ .

$- (2 x \tan (x^{2}))$

Этап 5.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x \tan (x^{2})$