Математический анализ Примеры

$\ln (4 \sec (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 4 \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 \sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 \sec (x)$ .

$\frac{1}{4 \sec (x)} \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sec (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{1}{4 \sec (x)} (4 \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4 \sec (x)}$ .

$\frac{4}{4 \sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4 \sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 6

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cos (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\sec (x)$ .

$\sec (x) \cos (x) \tan (x)$

Этап 7.1.2

Выразим $\cos (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)$

Этап 7.1.3

Сократим общие множители.

$1 \tan (x)$

Этап 7.2

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x)$

Этап 7.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x)$