Математический анализ Примеры

$\tan (\sin (x^{2}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = \sin (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Этап 1.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (x^{2})$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2}) (2 x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $\sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2}) (2 x)$ .

$2 x \sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2})$

Этап 4.2

Выразим $\sec (\sin (x^{2}))$ через синусы и косинусы.

$2 x {(\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})}^{2} \cos (x^{2})$

Этап 4.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))}$ .

$2 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Этап 4.4

Единица в любой степени равна единице.

$2 x \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Этап 4.5

Умножим $2 x \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ .

$x \frac{2}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Этап 4.5.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ .

$\frac{x \cdot 2}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Этап 4.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Этап 4.7

Объединим $\frac{2 x}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ и $\cos (x^{2})$ .

$\frac{2 x \cos (x^{2})}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $\cos (\sin (x^{2}))$ из $\cos^{2} (\sin (x^{2}))$ .

$\frac{2 x \cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2})) \cos (\sin (x^{2}))}$

Этап 4.9

Разделим дроби.

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$

Этап 4.10

Перепишем $\frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$ в виде произведения.

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Этап 4.11

Запишем $\cos (x^{2})$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\frac{\cos (x^{2})}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Этап 4.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Разделим $\cos (x^{2})$ на $1$ .

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Этап 4.12.2

Переведем $\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))}$ в $\sec (\sin (x^{2}))$ .

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$

Этап 4.13

Умножим $\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Объединим $\cos (x^{2})$ и $\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))}$ .

$\frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\cos (\sin (x^{2}))} \sec (\sin (x^{2}))$

Этап 4.13.2

Объединим $\frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\cos (\sin (x^{2}))}$ и $\sec (\sin (x^{2}))$ .

$\frac{\cos (x^{2}) (2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{\cos (\sin (x^{2}))}$

Этап 4.14

Разделим дроби.

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$

Этап 4.15

Перепишем $\frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$ в виде произведения.

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Этап 4.16

Запишем $\cos (x^{2})$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\frac{\cos (x^{2})}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Этап 4.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Разделим $\cos (x^{2})$ на $1$ .

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Этап 4.17.2

Переведем $\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))}$ в $\sec (\sin (x^{2}))$ .

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$

Этап 4.18

Разделим $(2 x) \sec (\sin (x^{2}))$ на $1$ .

$(2 x) \sec (\sin (x^{2})) (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$

Этап 4.19

Умножим $(2 x) \sec (\sin (x^{2})) (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Возведем $\sec (\sin (x^{2}))$ в степень $1$ .

$2 x (\sec^{1} (\sin (x^{2})) \sec (\sin (x^{2}))) \cos (x^{2})$

Этап 4.19.2

Возведем $\sec (\sin (x^{2}))$ в степень $1$ .

$2 x (\sec^{1} (\sin (x^{2})) \sec^{1} (\sin (x^{2}))) \cos (x^{2})$

Этап 4.19.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x {\sec (\sin (x^{2}))}^{1 + 1} \cos (x^{2})$

Этап 4.19.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x \sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2})$