Математический анализ Примеры

$x (27 - x) (18 - 2 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x (27 - x)$ и $g (x) = 18 - 2 x$ .

$x (27 - x) \frac{d}{d x} [18 - 2 x] + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $18 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (27 - x) (\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Этап 2.2

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (27 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (27 - x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Этап 2.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (27 - x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (27 - x) (- 2 \cdot 1) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x (27 - x) \cdot - 2 + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Этап 2.6.2

Перенесем $- 2$ влево от $x (27 - x)$ .

$- 2 \cdot (x (27 - x)) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Этап 3

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [27 - x] + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $27 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- x]) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (- 1 \cdot 1) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x \cdot - 1 + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- 1 \cdot x + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- x + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- x + (27 - x) \cdot 1)$

Этап 4.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $27 - x$ на $1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- x + 27 - x)$

Этап 4.8.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- 2 x + 27)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + (18 - 2 x) (- 2 x + 27)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + (18 - 2 x) (- 2 x) + (18 - 2 x) \cdot 27$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + (18 - 2 x) \cdot 27$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Этап 5.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $27$ на $- 2$ .

$- 54 x - 2 x (- x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Этап 5.5.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 54 x + 2 x \cdot x + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Этап 5.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 54 x + 2 (x^{1} x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Этап 5.5.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 54 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Этап 5.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 54 x + 2 x^{1 + 1} + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Этап 5.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Этап 5.5.7

Умножим $- 2$ на $18$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Этап 5.5.8

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x \cdot x + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Этап 5.5.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 (x^{1} x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Этап 5.5.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Этап 5.5.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{1 + 1} + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Этап 5.5.12

Добавим $1$ и $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{2} + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Этап 5.5.13

Умножим $18$ на $27$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{2} + 486 - 2 x \cdot 27$

Этап 5.5.14

Умножим $27$ на $- 2$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{2} + 486 - 54 x$

Этап 5.5.15

Вычтем $54 x$ из $- 36 x$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 90 x + 4 x^{2} + 486$

Этап 5.5.16

Вычтем $90 x$ из $- 54 x$ .

$2 x^{2} - 144 x + 4 x^{2} + 486$

Этап 5.5.17

Добавим $2 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 144 x + 486$