Математический анализ Примеры

$\sin (x) \sec (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \sec (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sin (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\sin (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$\sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x)$

Этап 4.2.2

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + \cos (x) \sec (x)$

Этап 4.2.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Этап 4.2.4

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Этап 4.2.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Этап 4.2.4.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Этап 4.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Этап 4.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Этап 4.2.4.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Этап 4.2.4.7

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Этап 4.2.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) \sec (x)$

Этап 4.2.4.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Этап 4.2.5

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\sec (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec (x) \cos (x)$

Этап 4.2.5.2

Выразим $\cos (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)$

Этап 4.2.5.3

Сократим общие множители.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$

Этап 4.3

Переведем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в $\tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) + 1$

Этап 4.4

Применим формулу Пифагора.

$\sec^{2} (x)$