Математический анализ Примеры

$y = (8 x + 5) (x^{2} - 3 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 8 x + 5$ и $g (x) = x^{2} - 3 x$ .

$(8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x] + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$(8 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(8 x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

Этап 2.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3 \cdot 1) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

Этап 2.5

Умножим $- 3$ на $1$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

Этап 2.6

По правилу суммы производная $8 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.7

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.9

Умножим $8$ на $1$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (8 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.10

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (8 + 0)$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $8$ и $0$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) \cdot 8$

Этап 2.11.2

Перенесем $8$ влево от $x^{2} - 3 x$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + 8 \cdot (x^{2} - 3 x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(8 x + 5) (2 x - 3) + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(8 x + 5) (2 x) + (8 x + 5) \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x (2 x) + 5 (2 x) + (8 x + 5) \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x (2 x) + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2$ на $8$ .

$16 x \cdot x + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Этап 3.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$16 (x^{1} x) + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Этап 3.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$16 (x^{1} x^{1}) + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Этап 3.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 x^{1 + 1} + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Этап 3.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$16 x^{2} + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Этап 3.5.6

Умножим $2$ на $5$ .

$16 x^{2} + 10 x + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Этап 3.5.7

Умножим $- 3$ на $8$ .

$16 x^{2} + 10 x - 24 x + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Этап 3.5.8

Умножим $5$ на $- 3$ .

$16 x^{2} + 10 x - 24 x - 15 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Этап 3.5.9

Вычтем $24 x$ из $10 x$ .

$16 x^{2} - 14 x - 15 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Этап 3.5.10

Умножим $- 3$ на $8$ .

$16 x^{2} - 14 x - 15 + 8 x^{2} - 24 x$

Этап 3.5.11

Добавим $16 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$24 x^{2} - 14 x - 15 - 24 x$

Этап 3.5.12

Вычтем $24 x$ из $- 14 x$ .

$24 x^{2} - 38 x - 15$