Математический анализ Примеры

$y = (4 x^{2} - 1) (7 x^{3} + x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x^{2} - 1$ и $g (x) = 7 x^{3} + x$ .

$(4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [7 x^{3} + x] + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $7 x^{3} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]$

Этап 2.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{3}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(4 x^{2} - 1) (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(4 x^{2} - 1) (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $7$ .

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]$

Этап 2.6

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $4$ .

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (8 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (8 x + 0)$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $8 x$ и $0$ .

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (8 x)$

Этап 2.11.2

Перенесем $8$ влево от $7 x^{3} + x$ .

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + 8 \cdot (7 x^{3} + x) x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1