Математический анализ Примеры

$y = (\sin (x) + \cos (x)) \sec (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ и $g (x) = \sec (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Этап 2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Этап 3

По правилу суммы производная $\sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(\sin (x) \sec (x) + \cos (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) (- \sin (x))$

Этап 6.4

Изменим порядок членов.

$\sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.2

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.4

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.4.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.4.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.4.7

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.4.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.5

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\sec (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec (x) \cos (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.5.2

Выразим $\cos (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.5.3

Сократим общие множители.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.6

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.7

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.8

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.8.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\sec (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) \cos (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.8.2

Выразим $\cos (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.8.3

Сократим общие множители.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \sec (x) \sin (x)$

Этап 6.5.9

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Этап 6.5.10

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.6

Объединим противоположные члены в $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вычтем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ из $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 0 + 1$

Этап 6.6.2

Добавим $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ и $0$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$

Этап 6.7

Переведем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в $\tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) + 1$

Этап 6.8

Применим формулу Пифагора.

$\sec^{2} (x)$