Математический анализ Примеры

$y = (2 x^{7} - x^{2}) (\frac{x - 1}{x + 1})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 x^{7} - x^{2}$ и $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}] + \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = x + 1$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - x^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - x^{2}]$

Этап 3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - x^{2}]$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - x^{2}]$

Этап 3.4.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - x^{2}]$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - x^{2}]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - x^{2}]$

Этап 3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - x^{2}]$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - x^{2}]$

Этап 3.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - x^{2}]$

Этап 3.9

По правилу суммы производная $2 x^{7} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{7}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} (2 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.12

Умножим $7$ на $2$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} (14 x^{6} + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.13

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} (14 x^{6} - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} (14 x^{6} - (2 x))$

Этап 3.15

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} (14 x^{6} - 2 x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - x - - 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} (14 x^{6} - 2 x)$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{x + 1 - x + 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} (14 x^{6} - 2 x)$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{0 + 1 + 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} (14 x^{6} - 2 x)$

Этап 4.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} (14 x^{6} - 2 x)$

Этап 4.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x + 1} (14 x^{6} - 2 x)$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$(2 x^{7} - x^{2}) \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} + (14 x^{6} - 2 x) \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $2 x^{7} - x^{2}$ на $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(2 x^{7} - x^{2}) \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}} + (14 x^{6} - 2 x) \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{7} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{7}$ .

$\frac{(x^{2} (2 x^{5}) - x^{2}) \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}} + (14 x^{6} - 2 x) \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 4.4.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} (2 x^{5}) + x^{2} \cdot - 1) \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}} + (14 x^{6} - 2 x) \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 4.4.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (2 x^{5}) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{5} - 1) \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}} + (14 x^{6} - 2 x) \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 4.4.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2} (2 x^{5} - 1)$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} (2 x^{5} - 1))}{{(x + 1)}^{2}} + (14 x^{6} - 2 x) \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 4.4.4

Умножим $14 x^{6} - 2 x$ на $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} (2 x^{5} - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(14 x^{6} - 2 x) (x - 1)}{x + 1}$

Этап 4.4.5

Вынесем множитель $2 x$ из $14 x^{6} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Вынесем множитель $2 x$ из $14 x^{6}$ .

$\frac{2 x^{2} (2 x^{5} - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(2 x (7 x^{5}) - 2 x) (x - 1)}{x + 1}$

Этап 4.4.5.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} (2 x^{5} - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(2 x (7 x^{5}) + 2 x (- 1)) (x - 1)}{x + 1}$

Этап 4.4.5.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (7 x^{5}) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{2 x^{2} (2 x^{5} - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 x (7 x^{5} - 1) (x - 1)}{x + 1}$

Этап 4.5

Чтобы записать $\frac{2 x (7 x^{5} - 1) (x - 1)}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} (2 x^{5} - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 x (7 x^{5} - 1) (x - 1)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Этап 4.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(x + 1)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $\frac{2 x (7 x^{5} - 1) (x - 1)}{x + 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} (2 x^{5} - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 x (7 x^{5} - 1) (x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)}$

Этап 4.6.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{2} (2 x^{5} - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 x (7 x^{5} - 1) (x - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Этап 4.6.3

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{2} (2 x^{5} - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 x (7 x^{5} - 1) (x - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Этап 4.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{2} (2 x^{5} - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 x (7 x^{5} - 1) (x - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Этап 4.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{2} (2 x^{5} - 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 x (7 x^{5} - 1) (x - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{2} (2 x^{5} - 1) + 2 x (7 x^{5} - 1) (x - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2} (2 x^{5} - 1) + 2 x (7 x^{5} - 1) (x - 1) (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2} (2 x^{5} - 1)$ .

$\frac{2 x (x (2 x^{5} - 1)) + 2 x (7 x^{5} - 1) (x - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (7 x^{5} - 1) (x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{2 x (x (2 x^{5} - 1)) + 2 x (((7 x^{5} - 1) (x - 1)) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x (2 x^{5} - 1)) + 2 x (((7 x^{5} - 1) (x - 1)) (x + 1))$ .

$\frac{2 x (x (2 x^{5} - 1) + ((7 x^{5} - 1) (x - 1)) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (x (2 x^{5}) + x \cdot - 1 + ((7 x^{5} - 1) (x - 1)) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x (2 x \cdot x^{5} + x \cdot - 1 + ((7 x^{5} - 1) (x - 1)) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.4

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{2 x (2 x \cdot x^{5} - 1 \cdot x + ((7 x^{5} - 1) (x - 1)) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.5.1

Умножим $x$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.5.1.1

Перенесем $x^{5}$ .

$\frac{2 x (2 (x^{5} x) - 1 \cdot x + ((7 x^{5} - 1) (x - 1)) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.5.1.2

Умножим $x^{5}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x (2 (x^{5} x^{1}) - 1 \cdot x + ((7 x^{5} - 1) (x - 1)) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x (2 x^{5 + 1} - 1 \cdot x + ((7 x^{5} - 1) (x - 1)) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.5.1.3

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - 1 \cdot x + ((7 x^{5} - 1) (x - 1)) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.5.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + ((7 x^{5} - 1) (x - 1)) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.6

Развернем $(7 x^{5} - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + (7 x^{5} (x - 1) - 1 (x - 1)) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + (7 x^{5} x + 7 x^{5} \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + (7 x^{5} x + 7 x^{5} \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.7.1

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.7.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + (7 (x \cdot x^{5}) + 7 x^{5} \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.7.1.2

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + (7 (x^{1} x^{5}) + 7 x^{5} \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + (7 x^{1 + 5} + 7 x^{5} \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.7.1.3

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + (7 x^{6} + 7 x^{5} \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.7.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + (7 x^{6} - 7 x^{5} - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.7.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + (7 x^{6} - 7 x^{5} - x - 1 \cdot - 1) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.7.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + (7 x^{6} - 7 x^{5} - x + 1) (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.8

Развернем $(7 x^{6} - 7 x^{5} - x + 1) (x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{6} x + 7 x^{6} \cdot 1 - 7 x^{5} x - 7 x^{5} \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.9.1

Умножим $x^{6}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.9.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 (x \cdot x^{6}) + 7 x^{6} \cdot 1 - 7 x^{5} x - 7 x^{5} \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9.1.2

Умножим $x$ на $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.9.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 (x^{1} x^{6}) + 7 x^{6} \cdot 1 - 7 x^{5} x - 7 x^{5} \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{1 + 6} + 7 x^{6} \cdot 1 - 7 x^{5} x - 7 x^{5} \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9.1.3

Добавим $1$ и $6$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} + 7 x^{6} \cdot 1 - 7 x^{5} x - 7 x^{5} \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9.2

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} + 7 x^{6} - 7 x^{5} x - 7 x^{5} \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9.3

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.9.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} + 7 x^{6} - 7 (x \cdot x^{5}) - 7 x^{5} \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9.3.2

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.9.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} + 7 x^{6} - 7 (x^{1} x^{5}) - 7 x^{5} \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} + 7 x^{6} - 7 x^{1 + 5} - 7 x^{5} \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9.3.3

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} + 7 x^{6} - 7 x^{6} - 7 x^{5} \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9.4

Умножим $- 7$ на $1$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} + 7 x^{6} - 7 x^{6} - 7 x^{5} - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.9.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} + 7 x^{6} - 7 x^{6} - 7 x^{5} - (x \cdot x) - x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} + 7 x^{6} - 7 x^{6} - 7 x^{5} - x^{2} - x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} + 7 x^{6} - 7 x^{6} - 7 x^{5} - x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9.7

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} + 7 x^{6} - 7 x^{6} - 7 x^{5} - x^{2} - x + x + 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.9.8

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} + 7 x^{6} - 7 x^{6} - 7 x^{5} - x^{2} - x + x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.10

Объединим противоположные члены в $7 x^{7} + 7 x^{6} - 7 x^{6} - 7 x^{5} - x^{2} - x + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.10.1

Вычтем $7 x^{6}$ из $7 x^{6}$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} + 0 - 7 x^{5} - x^{2} - x + x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.10.2

Добавим $7 x^{7}$ и $0$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} - 7 x^{5} - x^{2} - x + x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.10.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} - 7 x^{5} - x^{2} + 0 + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.10.4

Добавим $7 x^{7} - 7 x^{5} - x^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 x (2 x^{6} - x + 7 x^{7} - 7 x^{5} - x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.11

Изменим порядок членов.

$\frac{2 x (7 x^{7} + 2 x^{6} - 7 x^{5} - x^{2} - x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$