Математический анализ Примеры

$y = (3 x - 2 x^{2}) (5 + 4 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 x - 2 x^{2}$ и $g (x) = 5 + 4 x$ .

$(3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [5 + 4 x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Этап 2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [4 x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Этап 2.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Этап 2.5

Перенесем $4$ влево от $3 x - 2 x^{2}$ .

$4 \cdot (3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) \cdot 1 + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Этап 2.7

Умножим $4$ на $1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $3 x - 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Этап 2.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Этап 2.11

Умножим $3$ на $1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Этап 2.12

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 2 (2 x))$

Этап 2.14

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 4 x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 4 x)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + (5 + 4 x) \cdot 3 + (5 + 4 x) (- 4 x)$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + (5 + 4 x) (- 4 x)$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Этап 3.5.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Этап 3.5.3

Умножим $5$ на $3$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Этап 3.5.4

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Этап 3.5.5

Умножим $- 4$ на $5$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x + 4 x (- 4 x)$

Этап 3.5.6

Умножим $- 4$ на $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x \cdot x$

Этап 3.5.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 (x^{1} x)$

Этап 3.5.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 (x^{1} x^{1})$

Этап 3.5.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x^{1 + 1}$

Этап 3.5.10

Добавим $1$ и $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x^{2}$

Этап 3.5.11

Вычтем $20 x$ из $12 x$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 - 8 x - 16 x^{2}$

Этап 3.5.12

Вычтем $8 x$ из $12 x$ .

$4 x - 8 x^{2} + 15 - 16 x^{2}$

Этап 3.5.13

Вычтем $16 x^{2}$ из $- 8 x^{2}$ .

$4 x - 24 x^{2} + 15$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$- 24 x^{2} + 4 x + 15$