Математический анализ Примеры

$y = {(\arctan (5 x))}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \arctan (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\arctan (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\arctan (5 x)$ .

$2 \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 2.2

Производная $\arctan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $5 (x)$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.2.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ и $2$ .

$\frac{2}{1 + 25 x^{2}} \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{2}{1 + 25 x^{2}}$ и $\arctan (5 x)$ .

$\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $5$ и $\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$ .

$\frac{5 (2 \arctan (5 x))}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$ на $1$ .

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$

Этап 3.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{10 \arctan (5 x)}{25 x^{2} + 1}$