Математический анализ Примеры

$x \ln (2 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (2 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$x (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2 x}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{d}{d x} [x]$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \ln (2 x) \cdot 1$

Этап 3.7

Умножим $\ln (2 x)$ на $1$ .

$1 + \ln (2 x)$