Математический анализ Примеры

$x \arctan (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \arctan (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$x \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $\arctan (x)$ на $1$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x)$

Этап 4

Чтобы записать $\arctan (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + \arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\arctan (x)$ на $1$ .

$\frac{x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 6.2.2

Изменим порядок множителей в $x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}$ .

$\frac{x + \arctan (x) + x^{2} \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} \arctan (x) + x + \arctan (x)}{x^{2} + 1}$