Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (1 + \sin (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cos (x)$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$