Математический анализ Примеры

$y^{3} + y x^{2} + x^{2} - 3 y^{2} = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y x^{2} + x^{2} - 3 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y^{3} + y x^{2} + x^{2} - 3 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = y$ и $g (x) = x^{2}$ .

$3 y^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + y (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y^{2} y' + y (2 x) + x^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Этап 2.3.4

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 y^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.5.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.5.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.5.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.5.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 (2 y y')$

Этап 2.5.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 6 y y'$

Этап 2.6

Изменим порядок членов.

$3 y^{2} y' + 2 x y + x^{2} y' - 6 y y' + 2 x$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 y^{2} y' + 2 x y + x^{2} y' - 6 y y' + 2 x = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' + x^{2} y' - 6 y y' + 2 x = - 2 x y$

Этап 5.1.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' + x^{2} y' - 6 y y' = - 2 x y - 2 x$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y' + x^{2} y' - 6 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + x^{2} y' - 6 y y' = - 2 x y - 2 x$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x^{2}) - 6 y y' = - 2 x y - 2 x$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 6 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x^{2}) + y' (- 6 y) = - 2 x y - 2 x$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{2}) + y' (x^{2})$ .

$y' (3 y^{2} + x^{2}) + y' (- 6 y) = - 2 x y - 2 x$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{2} + x^{2}) + y' (- 6 y)$ .

$y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y) = - 2 x y - 2 x$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y) = - 2 x y - 2 x$ на $3 y^{2} + x^{2} - 6 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y) = - 2 x y - 2 x$ на $3 y^{2} + x^{2} - 6 y$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} = \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} + \frac{- 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3 y^{2} + x^{2} - 6 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} = \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} + \frac{- 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} + \frac{- 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 x y - 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Этап 5.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x y - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x y$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y) - 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Этап 5.3.3.2.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y - 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$y' = \frac{2 x (- y - 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Этап 5.3.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{2 x (- (y) - 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Этап 5.3.3.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 x (- (y) - 1 (1))}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Этап 5.3.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 x (- (y + 1))}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Этап 5.3.3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.4.1

Перепишем $- (y + 1)$ в виде $- 1 (y + 1)$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 (y + 1))}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Этап 5.3.3.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{(2 x) (y + 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 x) (y + 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$